Pouvez vous m'aider pour tracer la figure svp ? Merci d'avance :) MNP est un triangle quelconque. On se place dans le repère (M,N,P). U est le milieu du segment

Bonsoir Loloreptile

Soit le repère M(MN;MP)
Les coordonnées de U sont (0;1/2)

1. Placer le point K, symétrique de point M par rapport au point N. Quelles en sont les coordonnées ? 
Les coordonnées de K sont (2;0)

2. Construire la droite (d) d'équation 
y=(-1/4)x+(1/2) 
Si x = 0, alors y = 0 + 1/2
                      y = 1/2 ==> (0;1/2) appartient à (d).
                                 ==> U appartient à (d)
Si y = 0, alors 0 = (-1/4)x+1/2
                     (1/4)x = 1/2
                     x = 2 ==> (2;0) appartient à (d)
                             ==> K appartient à (d)
Par conséquent, la droite (d) est la droite (UK)

3. Résoudre le système d'équation 
y=(-1/4)x+(1/2) 
y=1-x 

(-1/4)x + (1/2)  = 1 - x
(-1/4)x + x = 1 - 1/2
(3/4)x = 1/2
x = 2/3
et y = 1 -  x ==> y = 1 - 2/3 ==> y = 1/3

La solution du système est (x;y) = (2/3 ; 1/3)

4. Interpréter la solution de ce système. 

Soit la droite d'équation y = 1 - x
Si x = 0, alors y = 1 ==> le point (0;1) appartient à la droite 
                              ==> le point P appartient à la droite 
Si y = 0, alors 0 = 1 - x
                      x = 1 ==> le point (1;0) appartient à la droite 
                              ==> le point N appartient à la droite 

Par conséquent, l'équation y=1-x représente la droite (PN)

La solution de ce système exprime les coordonnées du point d'intersection entre les droites (UK) et (PN).

5. On note L(2/3;1/3). Montrer que la droite (ML) coupe le segment (PK) en son milieu. 
(ML) passe par (0;0) ==> son équation est de la forme : y=ax.
L(2/3;1/3) appartient à la droite (ML) ==> 1/3 = a * 2/3
                                                     ==> a = 1/2

D'où l'équation de (ML) est : y = (1/2)x.

Le milieu du segment (PK) admet comme abscisse (0+2)/2 = 2/2 = 1 et comme ordonnée (1+0)/2 = 1/2.
Le milieu du segment (PK) admet donc comme coordonnées (1 ; 1/2).

Les coordonnées de ce milieu vérifient bien l'équation de (ML) car 1/2 = (1/2) * 1

Par conséquent, la droite (ML) coupe le segment (PK) en son milieu. 

6. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ? 

Considérons le triangle MPK.

N est  le milieu de [MK] et L appartient à (PN) ==> L appartient à la médiane du triangle MPK issue de P.
U est  le milieu de [MP] et L appartient à (KU) ==> L appartient à la médiane du triangle MPK issue de K.

D'où M est le centre de gravité du triangle MPK.
Par conséquent, (ML) est la 3ème médiane du triangle issue de M.
==> la droite (ML) coupe le segment (PK) en son milieu.