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Question

On considère le quadrilatère ABCD représenté ci-contre la figure n'est pas à l'échelle
1. Calculer BD on donnera l'arrondi au millimètre
2. Calculer la mesure en degrés de chacun des angle ADB BDC et DBC vous utiliserez les codage de la figure et les propriétés sur les angles dans un triangle
3. Calculer les longueurs AD DC BC
4. Calculer le périmètre du quadrilatère ABCD on arrondira au millimètre
5. Calculer l'air du quadrilatère ABCD on arrondira aux millimètres carrés on rappelle que l'aire d'un triangle rectangle se calcule avec la formule lxL
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On considère le quadrilatère ABCD représenté ci-contre la figure n'est pas à l'échelle 1. Calculer BD on donnera l'arrondi au millimètre 2. Calculer la mesure e

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1 Réponse

  • 1] Calculer BD (arrondi au mm)
    D'après les codages de la figure, le triangle BAD est rectangle en A.
    BD est donc son hypoténuse.
    Nous utiliserons la trigonométrie puisque nous disposons de la mesure d'un angle et de la longueur du côté adjacent AB
    Cos39° = Coté adjacent / Hypoténuse
    Cos39° = AB / BD
    Cos39° = 3/BD

    BD = 3/Cos 39
    La calculatrice fait le reste...
    et affiche 3,86
    La mesure de BD est 3,86 cm

    2] Calcul de ADB

    Règle : Dans un triangle la somme des angles d'un triangle est égale à 180°
    Par différence on va calculer ADB
    ADB = 180° - (90° + 39°)
    ADB = 180° - 129
    ADB = 51°
    La mesure de l'angle ADB mesure 51°

    Calcul de BDC
    BDC est un angle alterne-interne avec l'angle ABD car :
    - Ils sont situés de part et d'autre de la sécante DB ;
    - Ils ne sont pas adjacents ;
    - Ils sont situés entre les deux droites (AB) et (DC) ;
    Par conséquent l'angle ABD = Angle BDC = 39°

    La mesure de l'angle BDC est de 39°

    Calcul de DBC
    D'après le codage de la figure, l'angle DBC est un angle droit dans le triangle rectangle CBD, l'angle DBC mesure 90°.
    Par déduction il est possible de calcule l'angle BCD.
    La somme des angle d'un triangle étant égale à 180° alors,
    Angle BCD = 180° - ( 90° + 39°)
    Angle BCD = 180° - 129°
    Angle BCD = 51°
    La mesure de l'angle BCD est de 51°.
    Remarque : L'angle BCD est égal à l'angle BDA, par conséquent les deux triangles BAD et DBC ont leurs angles égaux. 

    3] Calculer les longueurs de AD, DC et BC
    Calculons AD avec le théorème de Pythagore
    BD² = AB² + AD²
    3,86² = 3² + AD²
    14,9 - 9 = AD²
    √5,9 = AD
    2,43 = AD
    La mesure de AD est de 2,43 cm

    Calculer la longueur de DC
    On connaît le côté opposé BD et la mesure de l'angle BCD, on cherche l'hypoténuse
    Sin C = DB/DC
    Sin51° = 3,86/DC
    DC = 3,86/Sin51°
    La calculatrice fait le reste...
    Elle affiche 5,099945....
    La mesure de DC est de 5,1 cm


    Calculer la longueur de BC
    Le triangle CBD étant rectangle en B, on utilisera le théorème de Pythagore pour calculer BC
    DC² = BD² + BC²
    5,1² = 3,86² + BC²
    26,01 - 14,9 = BC²
    √11,11 = BC²
    3,33 = BC
    La longueur de BC est de 3,33 cm

    4] Calculer le périmètre du quadrilatère ABCD
    Périmètre = AB + BC + CD + DA
    P = 3 + 3,33 + 5,1 + 2,43
    P = 13,86 cm
    Le périmètre de ABCD est de 13,86 cm

    5] L'aire du quadrilatère ABCD
    Je propose de calculer l'aire du triangle BAD puis l'aire du triangle CBD puis de faire la somme.
    formule : Aire d'un triangle = (Base × Hauteur)/2
    Aire de BAD = (3 × 2,43) / 2
    Aire de BAD = 3,645 cm²

    Aire de CBD = (3,86 × 3,33) / 2
    Aire de CBD = 6, 4269 cm²

    Aire du quadrilatère ABCD
    Aire  = 3,645 + 6,4269 = 10,0719  cm²

    Arrondie au millième, l'aire du quadrilatère ABCD est de 10,072 cm²

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