Bonjour, J'ai un DM à faire sur les applications linéaires qu'on vient à peine de commencer. Le voici : f : E -> F (application linéaire) Soit G un espace vecto

Bonsoir Jafari381

1) Montrer que f(G) est un sous espace-vectoriel de F
a) f(G) est un sous-ensemble non vide de F. 
En effet, G est un sous-espace vectoriel de E ==> [tex]f(0_E) = 0_F\in f(G). [/tex]

b) Prenons deux éléments quelconques [tex]y_1,y_2\in f(G)[/tex] et [tex]k\in K[/tex]
Montrons que [tex]y_1 + ky_2 \in f(G)[/tex]
En effet, 
[tex]y_1\in f(G)\Longrightarrow il\ existe\ x_1\in G\ tel\ que\ f(x_1)=y_1\\y_2\in f(G)\Longrightarrow il\ existe\ x_2\in G\ tel\ que\ f(x_2)=y_2[/tex]

Dans ce cas, 

[tex]y_1 + ky_2=f(x_1)+kf(x_2)\\y_1 + ky_2=f(x_1+kx_2)\ car\ f\ est\ lin\acute{e}aire[/tex]
Or [tex]x_1 +kx_2\in G[/tex] puisque G est un espace vectoriel.
Donc [tex]y_1 + ky_2 \in f(G)[/tex]

2) Montrer que f-1(H) = {x appartient à E / f(x) appartient à H} est un sous espace-vectoriel de E.

a) [tex]f^{-1}(H)[/tex] est un sous-ensemble non vide de F. 
En effet, H est un sous-espace vectoriel de F
Donc 
[tex]0_F\in H\Longrightarrow f(0_E)\in H\Longrightarrow 0_E\in f^{-1}(H)[/tex]

b)  Prenons deux éléments quelconques [tex]x_1,x_2\in f^{-1}(H)[/tex] et [tex]k\in K[/tex]
Montrons que [tex]x_1 + kx_2 \in f^{-1}(H)[/tex]

En effet,

[tex]x_1\in f^{-1}(H)\Longrightarrow f(x_1)\in H\\x_2\in f^{-1}(H)\Longrightarrow f(x_2)\in H[/tex]

Dans ce cas, 

[tex]f(x_1)+kf(x_2)\in H\ car\ H\ est\ un\ espace\ vectoriel\\f(x_1+kx_2)\in H\ car\ f\ est\ lin\acute{e}aire\\\\\Longrightarrow x_1+kx_2\in f^{-1}(H)[/tex]