Bonjour à tous , 2 pb a vous soumettre 1)Calculer, en utilisant les identités connues (1+x²)(1+x3+x²)(1-x3+x²) ma réponse (1+x²)[(x²+1)-(x3)²] (1+x²)^3 -(1+x²)(

Il suffit de commencer le développement :
[tex]x^4 + px^2 + q = (x^2+bx+1)(x^2+px+q)[/tex]
[tex]=x^4+px^3+qx^2+bx^3+bpx^2+bqx+x^2+px+q[/tex]
[tex]=x^4+(p+b)x^3+(q+bp+1)x^2+(bq+p)x+q[/tex]

À partir de là, on identifie :
[tex] \left \{ {{p+b=0} \atop {q+bp+1=p}} \atop {bq+p=0} \right. [/tex]
[tex] \left \{ {{b=-p} \atop {q=p^2+p-1}} \atop {p(1-q)=0} \right. [/tex]
[tex] \left \{ {{b=-p} \atop {q=p^2+p-1}} \atop {p(-p^2-p+2)=0} \right.[/tex]

En d'autres termes, soit p = 0 et auquel cas, q = -1 et le polynôme du départ est x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1).
Soit [tex]p^2+p-2=0[/tex] et là, il faut résoudre par Δ. Ce dernier vaut 1+8 = 9. Donc le polynôme a deux solutions qui sont [tex]p= \frac{-1+3}{2}=1 [/tex] et [tex]p= \frac{-1-3}{2}=-2[/tex]. Dans le premier cas, p=1 donc q=1²+1-1=1 donc le polynôme x^4+x^2+1 se factorise par x^2+x+1 en (x^2+x+1)(x^2-x+1). Dans le second cas, p=-2 donc q=(-2)²-2+1=3 donc le polynôme x^4-2x^2+3 se factorise par x^2-2x+3 en (x^2-2x+3)(x^2+?+1). Je n'ai pas calculé le ? car je fatigue ! Je te laisse le faire. (C'est usant de taper du LaTex sur ce module !)