exercise: donner la primitive de f(x)= (tanx)puissance 4 . c'est a dire tanx le tout a la puissance 4

f(x)=(tanx)^4
On peut écrire f(x)=(tanx)^4-1+1=(tan²x+1)(tan²x-1)+1
Or la dérivée de tanx est (tanx)'=(sinx/cosx)'=(cosx*cosx-(-sinx)*sinx)/cos²x
(tanx)'=cos²x/cos²x+sin²x/cos²x=1+tan²x
On a donc f(x)=(tanx)'(tan²x-1)+1
Si on pose u(x)=tanx et v(x)=x²-1
On a f(x)=u'(x)*(v(u(x))+1
On note V(x) une primitive de v(x) : V(x)=x³/3-x
Donc la primitive de u'(x)*v(u(x)) est V(u(x))=tan³x/3-tanx
Donc une primitive F(x) de f(x)=(tanx)^4 est
F(x)=tan³x/3-tanx+x+k avec k ∈ IR