Bonjour, je ne comprend pas ce qu'il faut faire à cet exercice, pourriez-vous m'aider? Merci d'avance

Bonsoir  Kev34

Voir les figures en pièce jointe.

Les dimensions d'une feuille A4 sont : Longueur = 29,7 cm.
                                                        Largeur = 21 cm.
Sur la figure, AB = 29,7 et BC = 21.

Soit x la longueur du côté des carrés que l'on enlève.
Alors les dimensions en cm de la base rectangulaire de la boîte sont (29,7-2x) et (21-2x).

L'aire de cette base est égale à : 
[tex]Aire_{base} = (29,7-2x) (21-2x)\\\\Aire_{base} = 623,7-59,4x-42x+4x^2\\\\Aire_{base} =4x^2-101,4x+623,7[/tex]

La mesure de la hauteur de la boîte est x.

Le volume de la boîte est donné par V= aire de la base * hauteur
[tex]V(x)=(4x^2-101,4x+623,7)\times x\\\\\boxed {V(x)=4x^3-101,4x^2+623,7x}\ \ avec\ \ 0\le x\le 10,5[/tex]
Pour déterminer la valeur de x telle que V(x) soit maximal, nous allons étudier le signe de la dérivée V'(x)

[tex]V'(x)=12x^2-202,8x+623,7[/tex]

Calcul des racines de la dérivée V'(x);
[tex]\Delta=(-202,8)^2-4\times12\times623,7\\\\\Delta=11190,24\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{202,8-\sqrt{11190,24}}{24}\approx 4,04234\\\\x_2=\dfrac{202,8+\sqrt{11190,24}}{24}\approx 12,8577\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&0&&4,04234&&10,5&&12,8577&& \\ V'(x)&&+&0&-&-&-&0&+&\\ V(x)&0&\nearrow&Max&\searrow&0&||&||&||&\\ \end{array}[/tex]

Le volume de la boîte sera maximal si les longueurs des côtés des carrés sont environ égales à 4,04234 cm