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Question

Salut,
Dans le repère (O;I,J), le point A de C qui correspond au nombre réel x, a pour coordonnées (cos x; sin x).
M est le point de C associé au réel [tex] \pi [/tex] / 3.
Démontrer que le triangle IOA est équilatéral.
En déduire la valeur exacte de sin([tex] \pi [/tex] / 3), puis celle de cos([tex] \pi [/tex] / 3).
Salut, Dans le repère (O;I,J), le point A de C qui correspond au nombre réel x, a pour coordonnées (cos x; sin x). M est le point de C associé au réel [tex] \pi

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2 Réponse

  • I et M sont sur le cercle donc OI=OM
    IOM est isocèle en O
    Dans un triangle isocèle, les angles à la bases sont égaux donc : MOI=OIM
    On a donc IOM+OMI+OIM=π/3+2*OMI=π
    Donc OMI=1/2*(π-π/3)=1/2*2π/3=π/3
    Donc OMI=IOM=OIM=π/3 : IOM est équilatéral.
    Comme OIM est équilatéral H est le milieu de OI.
    OH=1/2
    Pour MH on applique Pythagore :
    OM²=OH²+HM²
    Donc HM²=OM²-OH²=1-1/4=3/4
    Donc HM=√3/2
    SinIOM=sin(π/3)=MH/OM=MH car OM=1
    Cos(π/3)=OH/OM=OH=1/2

  • O(0;0) , I(1;0) , A(cos(π/3),sin(π/3))
    donc OI=OA=1 et IOA=π/3
    donc le triangle OIA est équilatéral

    alors cos(π/3)=OH/OA=OH
    et sin(π/3)=AH/OA=AH

    or OH²+AH²=1 et OH=1/2
    donc AH²=3/4 donc AH=√3/2

    d'où : cos(π/3)=1/2 ; sin(π/3)=√3/2

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