S.V.P : on accepte sur cet exercice la relation suivante : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = [tex] \frac{k(k+1)}{2} [/tex] / k ∈ N on a f une fonction numérique te
Mathématiques
jujitsuzakaria
Question
S.V.P : on accepte sur cet exercice la relation suivante :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = [tex] \frac{k(k+1)}{2} [/tex] / k ∈ N
on a f une fonction numérique tels que :
f(x) = (x+1) - 2(x+2) + 3(x+3) - 4(x+4) + 5(x+5) - ... + 2015(x+2015) - 2016(x+2016)
1) résoudre l'équation : f(x) = 0
2) montrez que si n est un nombre impaire donc f(n) est multiple de 2016
et merci .
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = [tex] \frac{k(k+1)}{2} [/tex] / k ∈ N
on a f une fonction numérique tels que :
f(x) = (x+1) - 2(x+2) + 3(x+3) - 4(x+4) + 5(x+5) - ... + 2015(x+2015) - 2016(x+2016)
1) résoudre l'équation : f(x) = 0
2) montrez que si n est un nombre impaire donc f(n) est multiple de 2016
et merci .
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
Dans f(x), on groupe les k(x+k) 2 par 2 en commençant toujours par un k impair.
Notons donc k=2p-1
k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=kx-(k+1)x+k²-(k+1)²=-x+(k+k+1)(k-k-1)=-x-(2k+1)
Donc k(x+k)-(k+1)(x+k+1)=-x-2k-1=-x-4p+2-1=-x-4p+1
Il y a 1008 couples k(x+k)-(k+1)(x+k+1) donc
f(x)=-1008x+1008-4*(1+2+3+...+1007+1008)=-1008x+1008-4*1008*1009/2
f(x)=-1008x+1008-2*1008*1009
f(x)=-1008x+1008(1-2018)=-1008x-1008*2017
1) donc f(x)=0 ⇔ -1008x-1008*2017=0 soit x=-2017
2) Si n est impair n s'écrit n=2p+1
Donc f(n)=-1008*(2p+1)-2017*1008
f(n)=-2016p-1008-2017*1008=-2016p-1008*(2017+1)=-2016*p-1009*2016
f(n)=-2016*(1009-p)
donc f(n) est un multiple de 2016