________Géométrie analytique de l'espace : droites________ 1) Donnez les équations paramétriques et cartésiennes de la droite AB : A = ( 0 ; 2 ; -1 ) , B = ( -

Bonsoir Kidrauhpe

1) Vecteur directeur : 
[tex]\overrightarrow{AB}\ (-4-0\ ;\ 1-2\ ;\ 3-(-1))\\\\\overrightarrow{AB}\ (-4\ ;\ -1\ ;\ 4)[/tex]

Equations paramétriques de la droite (AB) : 

[tex]\left\{\begin{matrix}x=0+r\times(-4)\\y=2+r\times(-1)\\z=-1+r\times4 \end{matrix}\right.\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=-4r\\y=2-r\\z=-1+4r \end{matrix}\right.}[/tex]

Equations cartésiennes de la droite (AB) : 

[tex]\left\{\begin{matrix}x=-4r\\y=2-r\\z=-1+4r \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}r=\dfrac{x}{-4}\\r=2-y\\r=\dfrac{z+1}{4} \end{matrix}\right.\\\\\\Equations\ cart\acute{e}siennes\ de\ (AB}):\boxed{\dfrac{x}{-4}=2-y=\dfrac{z+1}{4}}[/tex]

2) Recherchons les coordonnées de deux points de la droite.

Soit x = 0
Alors 
[tex]\left\{\begin{matrix}0+2y=5\\0-5z=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2y=5\\-5z=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{5}{2}\\\\z=-\dfrac{1}{5} \end{matrix}\right.[/tex]

Nous avons ainsi le point A (0 ; 5/2 ; 1/5)

Soit x = 1
Alors
[tex]\left\{\begin{matrix}1+2y=5\\3-5z=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2y=5-1\\-5z=-1-3 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}2y=4\\-5z=-4 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=2\\\\z=\dfrac{4}{5} \end{matrix}\right.[/tex]

Nous avons ainsi le point B (1 ; 2 ; 4/5)

Vecteur directeur : 
[tex]\overrightarrow{AB}\ (1-0\ ;\ 2-\dfrac{5}{2}\ ;\ \dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5})\\\\\\\overrightarrow{AB}\ (1-0\ ;\ \dfrac{4}{2}-\dfrac{5}{2}\ ;\ \dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5})\\\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}\ (1\ ;\ -\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{3}{5})}[/tex]