Mathématiques

Question

Bonjour, j'aurais besoin d'une méthode pour orthonormalisée une famille de vecteur que j'ai obtenu au préalable.
Ma famille est F = vect{(1,2,-1,0),(0,1,0,1)} = vect{u1,u2} qui n'est pas orthonormalisée et j'aimerais l'orthonormalisé c'est ce qu'on me demande mais comment faire ?
Sachant que je suis en classe préparatoire BCPST j'ai regardé mes propriété j'ai juste qu'une famille est orthonormée si ses éléments sont orthogonaux 2 à 2 et si ils sont de norme égale à 1.
Le produit scalaire de u1 par u2 donne 2 donc ils ne sont pas orthogonaux.
- IIu1II = V6 doncun vecteur normé de u1 est (1/V6)*u1
- IIu2II = V2 donc un vecteur normé de u2 est (1/V2)*u2 vous me direz si j'ai faux pour les vecteurs normés mais je bloque car u1 et u2 ne sont pas orthogonaux..
Merci d'avance !

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1 Réponse

  • Bonjour,
    le procédé s'appelle l'orthogonalisation de Gram-Schmidt,
    on part d'une famille libre (u1,u2,..) [pour obtenir une base il en faudrait 4)
    u1=(1,2,-1,0)
    u2=(0,1,0,1).
    <u,v> est le produit scalaire des vecteurs u et v.

    v1=u1=(1,2,-1,0)
    v2=u2-<u2,v1>/<v1,v1> * u1
    =(0,1,0,1)-(0,1,0,1)* T(1,2,-1,0) /((1,2,-1,0)* T(1,2,-1,0)    * (1,2,-1,0)
    =(0,1,0,1)- (0*1+1*2+0*(-1)+1*0)/ (1*1+2*2+(-1)*(-1)+0*0) * (1,2,-1,0)
    =(0,1,0,1)-1/3*(1,2,-1,0)
    =(-1/3,1/3,1/3,1)
    Pour la suite :
    v3=u3-<u3,v1>/<v1,v1>*v1- <u3,v2>/<v2,v2> * v2

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